Cours 3

Jeux à somme nulle:

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Deux joueurs opposés prennent des décisions.

A est la matrice de gain de I, et B=-A est la matrice de gaine de II.

Exemple: Jeu de Morra. Deviner la pièce (1 ou 2 Euros) cachée par l'adversaire. Si I gagne et II perd, I gagne les deux mises. Si II gagne et I perd, I perd la somme des deux mises. Si I et II gagnent ou perdent, le gain est nul.

Méthode générale en suivant l'exemple du jeu de Morra Plus de détails sur les jeux

Chaque stratégie mixte est un vecteur de probabilité. Une stratégie pure est un vecteur de base où une composante est 1 et les autres 0.

Question: quelle stratégie adopter?

Réponse: il existe une stratégie optimale, que l'on peut obtenir par programmation linéaire.

Jeu de Morra

Matrice de gain de I. La matrice de II est B=-A, aussi la symétrique.

Gains des joueurs

Transformations

Problème linéaire

Problème linéaire à 5 variables

Max c^t.x

A . x < b

L'algorithme du simplex permet de trouver la stratégie optimale, et la valeur du jeu.

Equilibres de Nash

Implémentation dans Excel

Solution générale Matrice (4,4) pour le jeu où la valeur des deux pièces est a,b.

Par défaut a=1, b=2. Solution

On peut généraliser le jeu: chaque joueur choisit deux pièces et devine la somme des deux pièces choisies par l'autre joueur. Dans ce cas il y a 9 décisions possibles et la matrice est de taille (9,9). Elle est donnée dans le fichier solution.

Peut-on généraliser aux Jeux coopératifs, comme le dilemme du prisonnier C (Cooperate), D (Defect):

 1,1    7,0
 7,0    5,5

Réponse: NON. La situation est plus difficile.

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